Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．

f（1）=0，即點(diǎn)為（1，0），

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+（x+1） ﹣4，

則f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，

即函數(shù)的切線斜率k=f′（1）=﹣2，

則曲線y=f（x）在（1，0）處的切線方程為y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2

（2）

∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），

∴f′（x）=1+ +lnx﹣a，

∴f″（x）= ，

∵x＞1，∴f″（x）＞0，

∴f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．

①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，

∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f（x）＞f（1）=0，滿足題意；

②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函數(shù)f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合題意．

綜上所述，a≤2．

【解析】（1）當(dāng)a=4時(shí)，求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率，即可求出切線方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再結(jié)合條件，分類討論，即可求a的取值范圍．；本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查參數(shù)范圍的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：和,稱則可以表示成為的函數(shù),即為一個(gè)復(fù)合函數(shù)．