Question

【題目】如圖，在四棱錐 中， 底面 ， 是直角梯形， ， ，且 ， 是 的中點.

（1）求證：平面 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值為 ，求直線 與平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解： 平面 平面 ,

∴AC又 平面 ，

平面 平面 平面 ．

（2）解：如圖，以C為原點， 為AB中點）、 分別為x 軸、y 軸、Z 軸正向，建立空間直角坐標系，

則 ．

設(shè) ，則 ，

取 為面 的法向量．

設(shè) 為面 的法向量，則 ，

即 取 ，則 ，則 ，

依題意， ，則 ．

于是 ．

設(shè)直線 與平面 所成角為 ，

則 .

【解析】(1)由題意可先證出AC ⊥ PC ，AC ⊥BC即可得證A C ⊥ 平面 P B C進而得到平面 E A C ⊥ 平面 P B C。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設(shè)出平面 P A C和平面E A C的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用兩個平面的夾角的余弦值可算a=1，于是得到面 E A C 的法向量進而可計算出直線與平面夾角的正弦值。
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)，還要掌握用空間向量求直線與平面的夾角(設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角的余角.即有：)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．