Question

二次函數(shù)y=ax²+ax+2（a＞0）在R上的最小值為f（a）
（1）寫出函數(shù)f（a）的解析式；
（2）用定義證明函數(shù)f（a）的奇偶性；
（3）判斷f（a）在[1，5]上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得f（a）；
（2）根據(jù)f（a）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可作出奇偶性的判斷；
（3）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷單調(diào)性；

解答：解：（1）y=ax²+ax+2=a(x+

1

2

)2+2-

1

4

a，
又a＞0，∴x=-

1

2

時(shí)，y=ax²+ax+2取得最小值，f（a）=2-

1

4

a，
故f（a）=2-

1

4

a（a＞0）；
（2）由（1）知，f（a）=2-

1

4

a（a＞0），
∵f（a）的定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（a）為非奇非偶函數(shù)；
（3）f（a）在[1，5]上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)任意正數(shù)a₁，a₂，且a₁＜a₂，
f（a₁）-f（a₂）=（2-

1

4

a1）-（2-

1

4

a2）=

1

4

(a2-a1)，
∵0＜a₁＜a₂，∴

1

4

(a2-a1)＞0，
∴f（a₁）-f（a₂）＞0，即f（a₁）＞f（a₂），
∴f（a）在[1，5]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的最值及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法．