Question

如圖，已知點P在圓柱OO₁的底面圓O上，AB、A₁B₁分別為圓O、O₁的直徑且A₁A⊥平面PAB．
（Ⅰ）求證：平面A₁PB⊥平面A₁AP；
（Ⅱ）在三棱錐A₁-APB的6條棱中，任取2條棱，求恰好能互相垂直的概率．

Answer 1

分析：（I）利用直徑所對的圓周角等于90°，可證AP⊥BP，再證線面垂直，然后由線面垂直證明面面垂直；
（II）由（I）的線面垂直，可得三棱錐的六條棱中，線線垂直的情況，利用古典概型概率公式計算．

解答：解：（I）∵A₁A⊥平面PAB．PB?平面PAB，∴AA₁⊥PB；
又∵點P在圓柱OO₁的底面圓O上，AB是直徑，∴AP⊥PB；
AA₁∩AP=A，∴PB⊥平面A₁AP，PB?平面A₁PB，
∴平面AA₁P⊥平面A₁PB；
（II）在三棱錐A₁-APB的6條棱中，AA₁⊥AB；AA₁⊥AP；AA₁⊥BP；
由（I）知：BP⊥A₁P；BP⊥AP．共5組棱互相垂直的情況，
∴任取2條棱，求恰好能互相垂直的概率為

5

C 2 6

=

5

15

=

1

3

．

點評：本題考查了面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，考查了古典概型的概率計算，解題的關鍵是由線面垂直判定線線垂直的情況數(shù)．