(2011•濰坊二模)已知函數(shù)f(x)=a(x-
1
x
)-2lnx,g(x)=x2
(I)若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在其一公共點(diǎn)處存在公切線,證明:a=2e
a2
8
-1
分析:(I)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),則f'(x)≥0恒成立,然后求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)f(x)與g(x)的共切線,然后證明等式.
解答:解:(I)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=a+
a
x2
-
2
x
=
ax2-2x+a
x2

要使函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),f'(x)≥0恒成立,即ax2-2x+a≥0,在(0,+∞)上恒成立.
a≥
2x
x2+1
在(0,+∞)上恒成立.
因?yàn)?span id="l2dolku" class="MathJye">
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
2
2
=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),所以a≥1.
(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=a+
a
x2
-
2
x
=
ax2-2x+a
x2
,
g'(x)=2x,令
ax2-2x+a
x2
=2x
,
即2x3-ax2+2x-a=0,所以x2(2x-a)+2x-a=0,即(x2+1)(2x-a)=0,
所以2x-a=0,x=
a
2

因?yàn)閒(x)=a(x-
1
x
)-2lnx,
f(
a
2
)=a(
a
2
-
2
a
)-2ln
a
2
=
1
2
a2-2ln
a
2
-2
,
對(duì)于g(x)=x2.則g(
a
2
)=
a2
4

因?yàn)?span id="l5wxpqj" class="MathJye">g(
a
2
)=f(
a
2
),所以
1
2
a2-2ln
a
2
-2=
a2
4
,即a2-8ln
a
2
-8=0

所以a2-8=8ln
a
2
,
a2-8
8
=ln
a
2
,
a2
8
-1=ln
a
2
,
解得
a
2
=e
a2
8
-1
,
所以a=2e
a2
8
-1
,成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,綜合性較強(qiáng)運(yùn)算量較大,考查學(xué)生的運(yùn)算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•濰坊二模)設(shè)p:
xx-2
<0
,q:0<x<m,若p是q成立的充分不必要條件,則m的取值范圍是
(2,+∞)
(2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•濰坊二模)已知數(shù)列an=2n-1(n∈N*),把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣,記(m,n)表示該數(shù)陣中第m行中從左到右的第n個(gè)數(shù),則S(10,6)對(duì)應(yīng)于數(shù)陣中的數(shù)是
101
101

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•濰坊二模)已知
m
=(cos?x,sin?x),
n
=(cos?x,2
3
cos?x-sin?x)
,?>0,函數(shù)f(x)=
m
n
+|
m
|
,x1,x2是集合M={x|f(x)=1}中任意兩個(gè)元素,且|x1-x2|的最小值為
π
2

(1)求?的值.
(2)在△ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對(duì)邊.f(A)=2,c=2,S△ABC=
3
2
,求a的值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•濰坊二模)運(yùn)行如圖的程序框圖,當(dāng)輸入m=-4時(shí)的輸出結(jié)果為n,若變量x,y滿足
x+y≤3
x-y≥-1
y≥n
,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為
5
5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•濰坊二模)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)?x∈R滿足f(2+x)=f(2-x)且當(dāng)-2≤x≤0時(shí),f(x)=log2(1-x),則f(2011)的值為( �。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柣鎴eГ閸ゅ嫰鏌ら崫銉︽毄濞寸姵鑹鹃埞鎴炲箠闁稿﹥顨嗛幈銊р偓闈涙啞瀹曞弶鎱ㄥ璇蹭壕闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺姈椤忕喖姊绘担鑺ョ《闁革綇绠撻獮蹇涙晸閿燂拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐礃椤曆囧煘閹达附鍋愰柛娆忣槹閹瑧绱撴担鍝勵€岄柛銊ョ埣瀵濡搁埡鍌氫簽闂佺ǹ鏈粙鎴︻敂閿燂拷