Question

（1）設(shè)a₁，a₂，…，a_n是各項(xiàng)均不為零的n（n≥4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d≠0，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列
（i）當(dāng)n=4時(shí)，求

a1

d

的數(shù)值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求證：存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的n（n≥4）項(xiàng)等差數(shù)列，任意刪去其中的k項(xiàng)（1≤k≤n-3），都不能使剩下的項(xiàng)（按原來(lái)的順序）構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）（i）當(dāng)n=4時(shí)，數(shù)列的公差d≠0，刪去的項(xiàng)只可能為a₂或a₃．分別討論推出數(shù)列的情況，然后求解

a1

d

的值．
（ii）當(dāng)n≥6時(shí)，從數(shù)列中刪去任意一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，數(shù)列的公差必為0，這與題設(shè)矛盾．推出數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n≤5．然后討論當(dāng)n=4，n=5時(shí)，滿足題設(shè)的數(shù)列項(xiàng)數(shù)即可．
（2）首先找出一個(gè)等差數(shù)列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）的首項(xiàng)b₁與公差d'的比值為無(wú)理數(shù)，則此等差數(shù)列滿足題設(shè)要求．假設(shè)刪去等差數(shù)列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）項(xiàng)后，新數(shù)列構(gòu)成等比數(shù)列，說(shuō)明新數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)為不滿足題意，然后推出首項(xiàng)b1=

2

+1，公差d^′=1．相應(yīng)的等差數(shù)列

2

+1，

2

+2，

2

+3，…，

2

+n(n≥4)是一個(gè)滿足題設(shè)要求的數(shù)列．

解答：解：首先證明一個(gè)“基本事實(shí)”
一個(gè)等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差d₀=0．
事實(shí)上，設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)a-d₀，a，a+d₀成等比數(shù)列，則a²=（a-d₀）（a+d₀），由此得a2=a2-

d

2 0

，故d₀=0．
（1）（i）當(dāng)n=4時(shí)，由于數(shù)列的公差d≠0，故由“基本事實(shí)“推知，刪去的項(xiàng)只可能為a₂或a₃．
①若刪去a₂，則由a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，得(a1+2d)2=a1•(a1+3d)．
因d≠0，故由上式得a₁=-4d，即

a1

d

=-4．此時(shí)數(shù)列為-4d，-3d，-2d，-d，滿足題設(shè)．
②若刪去a₃，則a₁，a₂，a₄由成等比數(shù)列，得(a1+d)2=a1•(a1+3d)．
因d≠0，故由上式得a₁=d，即

a1

d

=1．此時(shí)數(shù)列為d，2d，3d，4d滿足題設(shè)．
綜上可知

a1

d

的值為-4或1．
（ii）當(dāng)n≥6時(shí)，則從滿足題設(shè)的數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n中刪去任意一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實(shí)”知，數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n的公差必為0，這與題設(shè)矛盾．所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n≤5．
又因題設(shè)n≥4，故n=4或n=5．
當(dāng)n=4時(shí)，由（i）中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列．
當(dāng)n=5時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅則由“基本事實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是a₃，從a₁，a₂，a₄，a₅而成等比數(shù)列，故(a1+d)2=a1•(a1+3d)，
及(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)．分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式，得a1d=d2及a1d=-5d2，
故d=0．矛盾．因此，不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列．  綜上可知，n只能為4．
（2）我們證明：若一個(gè)等差數(shù)列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）的首項(xiàng)b₁與公差d'的比值為無(wú)理數(shù)，
則此等差數(shù)列滿足題設(shè)要求．
證明如下：
假設(shè)刪去等差數(shù)列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）項(xiàng)后，
得到的新數(shù)列（按原來(lái)的順序）構(gòu)成等比數(shù)列，
設(shè)此新數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)為b₁+m₁d'，b₁+m₂d'，b₁+m₃d'（0≤m₁＜m₂＜m₃≤n-1），于是有(b1+m2d′)2=(b1+m1d′)(b1+m3d′)，化簡(jiǎn)得(

m

2 2

-m1m3)d′2=(m1+m3-2m2)b1d′…（*）
由b1d′\not=0知，

m

2 2

-m1m3與m₁+m₃-2m₂同時(shí)為零或同時(shí)不為零．
若m₁+m₃-2m₂=0，且

m

2 2

-m1m3=0，則有(

m1+m3

2

)2-m1m3=0，
即(m1-m3)2=0，得m₁=m₃，從而m₁=m₂=m₃，矛盾．
因此，m₁+m₃-2m₂與

m

2 2

-m1m3都不為零，故由（*）式得

b1

d′

=

m 2 2 -m1m3

m1+m3-2m2

•…（**）
因?yàn)閙₁，m₂，m₃均為非負(fù)整數(shù)，所以（**）式右邊是有理數(shù)，
而

b1

d′

是一個(gè)無(wú)理數(shù)，所以（**）式不成立．這就證明了上述結(jié)果．
因

2

+1是一個(gè)無(wú)理數(shù)．因此，取首項(xiàng)b1=

2

+1，公差d^′=1．
則相應(yīng)的等差數(shù)列

2

+1，

2

+2，

2

+3，…，

2

+n(n≥4)是一個(gè)滿足題設(shè)要求的數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題以等差數(shù)列、等比數(shù)列為平臺(tái)，主要考查學(xué)生的探索與推理能力．利用基本事實(shí)，反證法的應(yīng)用，找出滿足題意的一個(gè)數(shù)列是解題的難點(diǎn)也是關(guān)鍵點(diǎn)，本題屬難題．