Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2BC，AC=AA₁=BC
（1）點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是CC₁的中點(diǎn)，求證DE∥面AB₁C₁
（2）求AA₁與面AB₁C₁所成的角．

Answer 1

解：（1）證明：取AC的中點(diǎn)F，則由三角形的中位線的性質(zhì)可得 DF∥C₁A，EF∥BC，
由三棱柱的性質(zhì)可得，EF∥B₁C₁． 而 C₁A 和B₁C₁ 在平面AB₁C₁內(nèi)，DF 和EF不在平面AB₁C₁內(nèi)，
∴DF∥平面AB₁C₁，EF∥平面AB₁C₁，∴平面DEF∥平面AB₁C₁，∴DE∥平面AB₁C₁．
（2）由題意可知，ACC₁A₁ 為正方形，∴AC₁⊥A₁C．又 AB²=BC²+AC²，∴AC⊥BC，
∵CC₁⊥BC，∴BC⊥面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁C，∴A₁C⊥面AB₁C₁，
∴AC₁ 為AA₁ 在面AB₁C₁ 上的攝影，∴∠A₁AC₁ 為所求．
在直角三角形A₁AC₁中，AA₁=A₁C₁，∴∠A₁AC₁=，
即 AA₁與面AB₁C₁所成的角為 ．
分析：（1）取AC的中點(diǎn)F，則由三角形的中位線的性質(zhì)可得 DF∥C₁A，EF∥BC，通過證明平面DEF∥平面AB₁C₁，證得 DE∥平面AB₁C₁．
（2）由題意可知，ACC₁A₁ 為正方形，證明 A₁C⊥面AB₁C₁，可得AC₁ 為AA₁ 在面AB₁C₁ 上的攝影，故∠A₁AC₁ 為所求．在直角三角形A₁AC₁中，利用邊角關(guān)系求得∠A₁AC₁=．
點(diǎn)評：本題考查證明線面平行、線面所成的角的定義，直線和平面平行的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，找出直線和平面所成的角，是解題的關(guān)鍵．