Question

已知兩定點(diǎn)F1(-

2

，  0)，F2(

2

，  0)，滿足條件|

PF2

|-|

PF1

| =2的點(diǎn)P的軌跡是曲線C，直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且|AB| =

2 5

3

．
（1）求曲線C的方程；
（2）求直線AB的方程；
（3）若曲線C上存在一點(diǎn)D，使

OA

+

OB

=m

OD

，求m的值及點(diǎn)D到直線AB的距離．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件，滿足雙曲線的定義，直接求出曲線C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用直線與雙曲線聯(lián)立方程組，通過弦長公式求出直線的斜率，即可求直線AB的方程；
（3）求出A，B，利用

OA

+

OB

=m

OD

，即可求m的值，利用點(diǎn)到直線的距離求解點(diǎn)D到直線AB的距離．

解答：解：（1）由雙曲線的定義可知曲線C是以F1(-

2

，  0)，F2(

2

，  0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左半支
且c=

2

，  2a=2，a=1，故b=1，
所以軌跡C的方程是x²-y²=1．（x＜0）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得方程組

y=kx-2 x2-y2=1

消去y得（1-k²）x²+4kx-5=0
又已知直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，故有

1-k2≠0 △=(4k)2+20(1-k2)＞0 x1+x2= -4k 1-k2 ＜0 x1x2= -5 1-k2 ＞0

解得-

5

＜k＜-1
∵|AB| =

1+k2

|x2-x1| =

1+k2

 • 

( -4k 1-k2 )2+4 •  5 1-k2

=2

(1+k2)(5-k2) (1-k2)2

=

2 5

3

∴

(1+k2)(5-k2)

(1-k2)2

=

5

9

整理得，7k⁴-23k²-20=0
解得 k2=4 或 k2=-

5

7

（舍）
由k²=4，得k=-2，（k=2舍）
于是直線AB的方程為y=-2x-2，即2x+y+2=0．
（3）由

x2-y2=1 2x+y+2=0

，解得

x1=-1 y1=0

   

x2=- 5 3 y2= 4 3

不妨設(shè)

OA

=(-1，  0)，  

OB

=(-

5

3

，  

4

3

)，
由

OA

+

OB

=m

OD

，故有

OD

=(-

8

3m

， 

4

3m

)．
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線C的方程，得

64

9m2

-

16

9m2

=1．
解得m=±

4 3

3

，
但當(dāng)m=-

4 3

3

時，點(diǎn)D在雙曲線右支上，不合題意，
∴m=

4 3

3

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-

2 3

3

，  

3

3

)，
D到線AB的距離為

|- 4 3 3 + 3 3 +2|

5

=

2 5 - 15

5

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，考查設(shè)而不求，考查計算能力．