Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長為 的等腰三角形．
（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；
（Ⅱ）在線段AB上是否存在一點(diǎn)E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)E的位置并證明，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，設(shè)M，N分別是AB和CD的中點(diǎn)，連接PM，MN，PN∵PA=PB，M是AB的中點(diǎn)
∴PM⊥AB
又在正方形ABCD中有MN⊥AB
∴∠PMN為二面角P﹣AB﹣C的平面
∵ ，AB=2，M是AB的中點(diǎn)
∴PM=2
同理可得PN=2，又MN=2
∴△PMN是等邊三角形，故∠PMN=60°
∴二面角P﹣AB﹣C為60°，
（Ⅱ）存在點(diǎn)E，使平面PCE⊥平面PCD，此時(shí)E為線段MB的中點(diǎn)．理由如下
如圖，設(shè)E，F(xiàn)，G分別為MB，PN和PC的中點(diǎn)，連接MF，F(xiàn)G，EG，EC
由（Ⅰ）知△PMN是等邊三角形，故MF⊥PN
∵CD⊥MN，CD⊥PN，MN∩PN=N
∴CD⊥平面PMN，故CD⊥MF
又CD∩PN=N
∴MF⊥平面PCD
∵F，G分別為PN和PC的中點(diǎn)
∴FG=∥
又E為線段MB的中點(diǎn)
∴FG=∥ME，故四邊形EMFG為平行四邊形
∴EG∥MF
∴EG⊥平面PCD
又EG平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD．

【解析】（Ⅰ）設(shè)M，N分別是AB和CD的中點(diǎn)，連接PM，MN，PN，推導(dǎo)出PM⊥AB，MN⊥AB，從而∠PMN為二面角P﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣C的大小．（Ⅱ）設(shè)E，F(xiàn)，G分別為MB，PN和PC的中點(diǎn)，連接MF，F(xiàn)G，EG，EC，推導(dǎo)出MF⊥PN，CD⊥MF，從而MF⊥平面PCD，推導(dǎo)出四邊形EMFG為平行四邊形，從而EG⊥平面PCD，由此得到存在點(diǎn)E，使平面PCE⊥平面PCD，此時(shí)E為線段MB的中點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】掌握平面與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．