Question

設(shè)f(x)=a

x

-lnx（a＞0）：
（1）若f（x）在[1，+∞）上遞增，求a的取值范圍；  
（2）求f（x）在[1，4]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在[1，+∞）上遞增，可得在[1，+∞）上，f′(x)=

a x -2

2x

≥0恒成立，由此可求a的取值范圍； 
（2）由f′(x)=

a x -2

2x

，x∈[1，4]，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求f（x）在[1，4]上的最小值．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

a x -2

2x

∵f（x）在[1，+∞）上遞增，
∴在[1，+∞）上，f′(x)=

a x -2

2x

≥0恒成立
∴在[1，+∞）上，a≥

2

x

∴a≥2
∴a的取值范圍為[2，+∞）； 
（2）由f′(x)=

a x -2

2x

，x∈[1，4]
①當(dāng)a≥2時(shí)，在x∈[1，4]上，f'（x）≥0，∴f_min（x）=f（1）=a（8分）
②當(dāng)0≤a≤1時(shí)，在x∈[1，4]上，f'（x）≤0，∴f_min（x）=f（4）=2a-2ln2（10分）
③當(dāng)1＜a＜2時(shí)，在x∈[1，

4

a2

]上f'（x）≤0，在x∈[

4

a2

，4]上f'（x）≥0
此時(shí)fmin(x)=f(

4

a2

)=2-2ln2+2lna
綜上所述：fmin(x)=

2a-2ln20≤a≤1 2-2ln2+2lna1＜a≤2 a2＜a

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，合理分類(lèi)是關(guān)鍵．