橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2，短軸兩端點B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四點共圓，且點N（0，3）到橢圓上的點最遠距離為5
2
．
（1）求此時橢圓C的方程；
（2）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓C相交于不同的兩點E、F，Q為EF的中點，問E、F兩點能否關(guān)于過點P（0，
3
3
）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．
（1）∵F1、F2、B1、B2四點共圓，
∴b=c，
∴a2=b2+c2=2b2，
設(shè)橢圓的方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，N（0，3）
設(shè)H（x，y）為橢圓上一點，則|HN|2=x2+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|2的最大值b2+6b+9=50得 b=-3±5
2
 （舍去），
②若b≥3，|HN|2的最大值2b2+18=50得b2=16，
∴所求的橢圓的方程為：
x2
32
+
y2
16
=1．
（2）設(shè)直線L的方程為y=kx+m，代入
x2
32
+
y2
16
=1得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2-32）=0．
由直線l與橢圓相交于不同的兩點知△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-32）＞0，
m2＜32k2+16．②
要使A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱，必須KPQ=-
1
k

設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），則xQ=
x1+x2
2
=-
2km
1+2k2
，yQ=kxQ+m=
m
1+2k2

∵KPQ=
m
1+2k2
+
3
3
-
2km
1+2k2
=-
1
k

解得m=
1+2k2
3
．③
由②、③得
(1+2k2)2
3
＜32k2+16
∴-
1
2
＜k2＜
47
2
，
∵k2＞0，
∴0＜k2＜
47
2

∴-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2

故當(dāng)-
94
2
＜k＜0或0＜k＜
94
2
時，A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直線l和橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直角坐標系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A1，A2，上、下頂點為B2，B1，點P（
3
5
a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A2B2，直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)R點是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點，RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0），右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當(dāng)弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

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同步練習(xí)冊答案