Question

定義函數(shù)f（x）=

sinx，sinx≥cosx cosx，sinx＜cosx

，給出下列四個(gè)命題：
（1）該函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]；
（2）當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+

π

2

（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值；
（3）該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
（4）當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）時(shí)，f（x）＜0．上述命題中正確的個(gè)數(shù)是

1個(gè)

．

Answer 1

分析：f（x）為分段函數(shù)，由已知分別解出自變量的范圍，從而求得f（x）的值域?yàn)閇-

2

2

，1]，f（x）取得最大值1時(shí)，得x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z），求解f（x）的最小正周期周期，利用定義f（x+T）=f（x）來(lái)判斷，計(jì)算出π不是f（x）的最小正周期，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證第四個(gè)命題是對(duì)的．

解答：解：∵sinx≥cosx，∴

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ
∵sinx＜cosx，∴-

3π

4

+2kπ＜x＜

π

4

+2kπ
∴f（x）=

sinx   [ π 4 +2kπ 5π 4 +2kπ] cosx  (- 3π 4 +2kπ π 4 +2kπ)

，∴f（x）的值域?yàn)閇-

2

2

，1]
當(dāng)x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值為1．
∵f（x+π）=

-sinx -cosx

≠f（x）
∴f（x）不是以π為最小正周期的周期函數(shù)，
當(dāng)f（x）＜0時(shí)，2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）
綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是1個(gè)，
故答案為1個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求解三角函數(shù)的值域、周期、最值等知識(shí)，是三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)熟練掌握．