Question

（2009•湖北模擬）已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（1）若f（x）在x=1時有極值-1，求b、c的值；
（2）若函數y=x²+x-5的圖象與函數y=

k-2

x

的圖象恰有三個不同的交點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用f（x）在x=1時有極值-1，建立方程，即可求b、c的值；
（2）函數y=x²+x-5的圖象與函數y=

k-2

x

的圖象恰有三個不同的交點，所以方程：x2+x-5=

k-2

x

恰有三個不同的實解，從而當x≠0時，f （x）的圖象與直線y=k恰有三個不同的交點，確定函數的最值，即可得到結論．

解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=3x²+2bx+c，
由題，f（x）在x=1時有極值-1，知f′（1）=0，f （1）=-1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5（3分）
∴f（x）=x³+x²-5x+2，f'（x）=3x²+2x-5
此時f（x）在[-

5

3

，1]為減函數，f （x）在（1，+∞）為增函數
∴b=1，c=-5符合題意（5分）
（2）函數y=x²+x-5的圖象與函數y=

k-2

x

的圖象恰有三個不同的交點，所以方程：x2+x-5=

k-2

x

，即x³+x²-5x+2=k（x≠0），恰有三個不同的實解，
從而當x≠0時，f （x）的圖象與直線y=k恰有三個不同的交點，
由（1）知f （x）在[-∞，  -

5

3

]為增函數，f （x）在[-

5

3

， 1]為減函數，f （x）在（1，+∞）為增函數，
又f(-

5

3

)=

229

27

，f （1）=-1，f （2）=2
∴-1＜k＜

229

27

且k≠2（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與最值，考查學生等價轉化問題的能力，屬于中檔題．