Question

如圖，點P為斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱BB₁上一點，PM⊥BB₁交AA₁于點M，PN⊥BB₁交CC₁于點N.

(1)求證：CC₁⊥MN.

(2)在任意△DEF中，有由余弦定理DE²＝DF²＋EF²－2DF·EFcos∠DFE，拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出一個斜三棱柱的三個側(cè)面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并加以證明．

Answer 1

證明：(1)∵CC₁∥BB₁⇒CC₁⊥PM.

又CC₁⊥PN，且PM、PN為平面PMN內(nèi)兩相交的直線，

∴CC₁⊥平面PMN⇒CC₁⊥MN.

(2)在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所成的二面角．

∵CC₁⊥平面PMN，

∴上述的二面角為∠MNP.

在△PMN中，PM²＝PN²＋MN²－2PN·MN·cos∠MNP

⇒PM²·CC＝PN²·CC＋MN²·CC－2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)cos∠MNP，