【題目】已知拋物線 的焦點(diǎn)為,過(guò)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（除頂點(diǎn)外）作的切線交軸于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線的垂線（垂足為）與直線交于點(diǎn).

（Ⅰ）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求線段的長(zhǎng).

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線方程，可得 ，從而得焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，從而得，根據(jù)過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式可得，從而可得結(jié)論；（Ⅲ）由(Ⅱ)可設(shè)直線的方程為，.直線的方程為 .設(shè)和交點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立直線方程可得，，代入圓的方程結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由拋物線方程，可得 ，可得

（Ⅱ）設(shè).由，得，則過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為.

則過(guò)點(diǎn)的切線方程為.令，得，即.又點(diǎn)為拋物線上除頂點(diǎn)外的動(dòng)點(diǎn)，，則.而由已知得，則.又，即與不重合，即.

（Ⅲ）由(Ⅱ)問(wèn)，直線的方程為，.直線的方程為 .設(shè)和交點(diǎn)的坐標(biāo)為則

由（1）式得，（由于不與原點(diǎn)重合，故）.代入（2），化簡(jiǎn)得 .又，化簡(jiǎn)得, （）.

即點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上.（原點(diǎn)與除外）

即.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】【2018貴州遵義市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，拋物線的焦點(diǎn)為，以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為；自引直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)．

（Ⅰ）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

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【題目】衡陽(yáng)市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者，現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名后按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，則應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的條件下，該市決定在第3，4組的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，平面平面

為側(cè)棱的中點(diǎn)，且.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)列： 滿足： ， 或1（）．對(duì)任意，都存在，使得．，其中 且兩兩不相等．

(I)若．寫(xiě)出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào)；

①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2

(Ⅱ)記．若，證明： ；

(Ⅲ)若，求的最小值.

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【題目】已知函數(shù)，（其中）

（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，求證：函數(shù)有唯一的零點(diǎn).

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，過(guò)點(diǎn)作極坐標(biāo)方程為的直線的平行線，分別交曲線于兩點(diǎn).

（1）寫(xiě)出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若成等比數(shù)列，求的值.

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【題目】質(zhì)檢部門(mén)對(duì)某工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的12個(gè)零件質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè).甲、乙兩個(gè)車(chē)間的零件質(zhì)量(單位：克）分布的莖葉圖如圖所示.零件質(zhì)量不超過(guò)20克的為合格.

（1）從甲、乙兩車(chē)間分別隨機(jī)抽取2個(gè)零件，求甲車(chē)間至少一個(gè)零件合格且乙車(chē)間至少一個(gè)零件合格的概率；

（2）質(zhì)檢部門(mén)從甲車(chē)間8個(gè)零件中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢測(cè)，若至少2件合格，檢測(cè)即可通過(guò)，若至少3 件合格，檢測(cè)即為良好，求甲車(chē)間在這次檢測(cè)通過(guò)的條件下，獲得檢測(cè)良好的概率；

（3）若從甲、乙兩車(chē)間12個(gè)零件中隨機(jī)抽取2個(gè)零件，用表示乙車(chē)間的零件個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知橢圓E： （a﹥b﹥0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

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