Question

設(shè)函數(shù)       其中常數(shù)m為整數(shù).

 (1) 當(dāng)m為何值時(shí),

 (2) 定理: 若函數(shù)g(x) 在[a, b ]上連續(xù),且g(a) 與g(b)異號(hào),則至少存在一點(diǎn)x₀∈(a,b),使g(x₀)=0.

 試用上述定理證明:當(dāng)整數(shù)m>1時(shí),方程f(x)= 0,在[e^-ｍ-m ,e^2ｍ-m ]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

Answer 1

（I）解：函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù)，且

當(dāng)x∈(-m,1-m)時(shí),f ^’（x）<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1-m)

當(dāng)x∈(1-m, +∞)時(shí),f ^’（x）>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1-m)

根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且

對(duì)x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，f(x) ≥1-m≥0

(II)證明：由（I）知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(1-m)=1-m<0,

函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).

由所給定理知，存在唯一的

而當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，

類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的

故當(dāng)m>1時(shí)，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。