Question

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的、，當(dāng)時，都有.

（1）若，求的取值范圍；

（2）若為周期函數(shù)，證明：是常值函數(shù)；

（3）設(shè)恒大于零，是定義在上、恒大于零的周期函數(shù)，是的最大值.

函數(shù). 證明：“是周期函數(shù)”的充要條件是“是常值函數(shù)”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由，可得函數(shù)是一個不遞減函數(shù)，得，即可求解實數(shù)的取值范圍；

（2）利用反證法，假設(shè)不是常值函數(shù)，令，且存在一個，使得，由函數(shù)的性質(zhì)得到，從而得出矛盾，即可作出證明；

（3）充分性及必要性的證明：類似(2)證明充分性；再證必要性，然后分類證明即可.

試題分析：

（1）因為對于任意的，當(dāng)時，都有，即可知道函數(shù)是一個不遞減的函數(shù)，即.若，其導(dǎo)函數(shù)為，可以得到.

（2）假設(shè)不是常值函數(shù)，并且其周期為.

令，且存在一個，使得.由于的性質(zhì)可知，，且.因為是周期函數(shù)，所以，這與前面的結(jié)論矛盾，所以假設(shè)不成立，即是常值函數(shù).

（3）充分性證明：當(dāng)為常值函數(shù)時，令，即，因為是周期函數(shù)，所以也是周期函數(shù).

必要性證明：當(dāng)是周期函數(shù)時，令周期為.即有，則，又因為是周期函數(shù)，所以.即可得到，所以是周期函數(shù)，由（2）的結(jié)論可知，是常值函數(shù).

綜上所述，是周期函數(shù)的充要條件是是常值函數(shù).