Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 

2

，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP所成二面角的大�。�

Answer 1

分析：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出PC，BE，BF的方向向量，根據(jù)向量的數(shù)量積為0，則向量垂直，可證得PC⊥BF，PC⊥EF，再由線面垂直的判定定理得到答案．
（II）由已知及（I）中結(jié)論，可得向量

AD

=（0，2 

2

，0）是平面BAP的一個(gè)法向量，向量

PC

=（2，2 

2

，-2）是平面BEF的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得平面BEF與平面BAP所成二面角的大小．

解答：解：∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 

2

，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2 

2

，0），D（0，2 

2

，0），E（0，

2

，0），F(xiàn)（1，

2

，1）
證明：（I）由題意得

PC

=（2，2 

2

，-2），

BE

=（-2，

2

，0），

BF

=（-1，

2

，1），
∵

PC

•

BE

=-4+4+0=0，

PC

•

BF

=-2+4-2=0
∴

PC

⊥

BE

，

PC

⊥

BF

∴PC⊥BF，PC⊥EF，又∵BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF
解：（II）由已知可得向量

AD

=（0，2 

2

，0）是平面BAP的一個(gè)法向量
由（I）得向量

PC

=（2，2 

2

，-2）是平面BEF的一個(gè)法向量
設(shè)平面BEF與平面BAP所成二面角的大小為θ
則cosθ=

| AD • PC |

| AD |•| PC |

=

2

2

則θ=45°
即平面BEF與平面BAP所成二面角為45°

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空間直角坐標(biāo)系，將線線垂直問(wèn)題和二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．