平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),給定兩點(diǎn)M(1,-3)N(5,1),若點(diǎn)C滿足
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)

(Ⅰ)求點(diǎn)C的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)C的軌跡與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn),求證:
OA
OB
;
(Ⅲ)求以AB為直徑的圓的方程.
分析:(Ⅰ)由
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)
知點(diǎn)C的軌跡是M,N兩點(diǎn)所在的直線,由此可求出點(diǎn)C的軌跡方程.
(Ⅱ)由
y=x-4
y2=4x
?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0
,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),能夠推導(dǎo)出x1x2+y1y2=0,故
OA
OB

(Ⅲ)由題意知AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,2).|OC|=2
10
為圓的半徑.由此可知所求圓的方程為(x-6)2+(y-2)2=40.
解答:解:(Ⅰ):由
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)

知點(diǎn)C的軌跡是M,N兩點(diǎn)所在的直線,
故點(diǎn)C的軌跡方程是:y+3=
1-(-3)
4
(x-1)
即y=x-4(3分)
(Ⅱ)由
y=x-4
y2=4x
?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0
(5分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)∴x1x2=16x1+x2=12(6分)
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16(8分)
∴x1x2+y1y2=0故
OA
OB
(10分)
(Ⅲ)∵x1+x2=12,∴y1+y2=x1+x2-8=12-8=4
∴AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,2).
又∵
OA
OB
,∴|OC|=2
10
為圓的半徑.
∴所求圓的方程為(x-6)2+(y-2)2=40(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以圓的知識(shí)為載體考查軌跡的方程,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(3,1)、B(-1,3),若點(diǎn)C滿足
OC
OA
OB
,其中α、β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為( 。
A、3x+2y-11=0
B、(x-1)2+(y-2)2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球,在斜平行光線的照射下,其陰影為一橢圓(如圖),在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),籃球與地面的接觸點(diǎn)為H,則|OH|=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),P(6,8),將向量
OP
按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
后,得向量
OQ
則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),給定兩點(diǎn)A(1,0)、B(0,-2),點(diǎn)C滿足   
OC
OA
OB
,其中α
、β∈R,且α-2β=1
(1)求點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
交于兩點(diǎn)M、N,且以MN為直徑的圓過原點(diǎn),求證:
1
a2
+
1
b2
為定值
;
(3)在(2)的條件下,若橢圓的離心率不大于
2
2
,求橢圓長軸長的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•海淀區(qū)二模)平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩定點(diǎn)A(1,0)、B(0,-1),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足:
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于相異兩點(diǎn)M、N.若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),且雙曲線C的離心率等于
3
,求雙曲線C的方程.

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