(理)如圖,將∠B=,邊長為1的菱形ABCD沿對角線AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D,若θ∈[,],M、N分別為AC、BD的中點,則下面的四種說法:
①AC⊥MN;
②DM與平面ABC所成的角是θ;
③線段MN的最大值是,最小值是;
④當(dāng)θ=時,BC與AD所成的角等于.
其中正確的說法有 (填上所有正確說法的序號).
① ③
【解析】
試題分析:如圖,
AC⊥BM,AC⊥MD?AC⊥平面BMD,所以AC⊥MN,①正確;因為θ∈[,],且線與面所成角的范圍為[0,],所以DM與平面ABC所成的角不一定是θ,②錯;BM=DM=,MN⊥BD,∠BMD=θ,所以MN=BM·cos=·cos,所以線段MN的最大值是,最小值是,③正確;當(dāng)θ=時,過C作CE∥AD,連結(jié)DE,且DE∥AC,則∠BCE(或其補角)即為兩直線的夾角,BM⊥DM,BM=DM=,BD2=,又DE∥AC,則DE⊥平面BDM,∴DE⊥BD,BE2=+1=,cos∠BCE=≠0,所以④錯
考點:本試題考查了空間中點線面的位置關(guān)系的運用。
點評:解決該試題的關(guān)鍵是理解折疊圖前后的不變量,以及垂直的關(guān)系。同時能熟練的利用線面的垂直的判定定理和性質(zhì)定理,屬于中檔題。
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