Question

（08年宣武區(qū)質(zhì)量檢一）（14分）

根據(jù)定義在集合A上的函數(shù)y=，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：

①     輸入數(shù)據(jù)，計(jì)算出；

②     若，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；

若，則輸出，并將反饋回輸入端，再計(jì)算出。并依此規(guī)律繼續(xù)下去。

現(xiàn)在有，。

（1）       求證：對(duì)任意，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列；

（2）       若，記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）       在（2）得條件下，證明。

Answer 1

解析：（1）當(dāng)，即時(shí)，由，可知，

又

，即

故對(duì)任意 有，

由 有，

 有；

以此類(lèi)推，可一直繼續(xù)下去，從而可以產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮數(shù)列………………4分

（2）由，可得，

，

即。

令，則，

又，

所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列。

，即=+1……………………………………..9分

（3）要證，即證，只需證，

當(dāng)時(shí)，

有，

因?yàn)�，�?dāng)時(shí)，

由。

所以，當(dāng)時(shí)

        <1+1+

又當(dāng)m=1時(shí)，

所以對(duì)于任意，都有

所以對(duì)于任意，都有……………………………………..14分