Question

已知

OA

=(2asin2x，a)，

OB

=(-1，2

3

sinxcosx+1)，O為坐標原點，a≠0，設f(x)=

OA

•

OB

+b，b＞a．
（I）若a＞0，寫出函數(shù)y=f（x）的單調遞增區(qū)間；
（II）若函數(shù)y=f（x）的定義域為[

π

2

，π]，值域為[2，5]，求實數(shù)a與b的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，將2x+

π

6

看做一個整體，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解出x的范圍即可得到答案．
（2）先根據(jù)x的范圍求出2x+

π

6

的范圍，對a分大于0和小于0兩種情況根據(jù)正弦函數(shù)的性質討論，即可得到答案．

解答：解：（I）f(x)=-2asin2x+2

3

asinxcosx+a+b=2asin(2x+

π

6

)+b
∵a＞0，∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得函數(shù)y=f（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（寫成[kπ+

2π

3

，kπ+

7π

6

](k∈Z)也可以）
（II）x∈[

π

2

，π]時，2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]
當a＞0時，f（x）∈[-2a+b，a+b]∴

-2a+b=2 a+b=5

，得

a=1 b=4

，
當a＜0時，f（x）∈[a+b，-2a+b]∴

a+b=2 -2a+b=5

，得

a=-1 b=3

點評：本題主要考查三角函數(shù)的單調區(qū)間和值域的問題．一般先將函數(shù)化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質解題．