Question

已知函數(shù)f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。

Answer 1

(Ⅰ)  f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R)  (Ⅱ)  見解析

解析:

（I）∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可設(shè)f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，

∴f(x)在區(qū)間[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，

由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R).

（II）方程f(x)＋＝0等價于方程2x³－10x²＋37＝0，

設(shè)h(x)＝2x³－10x²＋37，則h??(x)＝6x²－20x＝2x(3x－10)，

當(dāng)x∈(0，)時，h??(x)＜0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(，＋∞)時，h??(x)＞0，h(x)是增函數(shù)，

∵h(yuǎn)(3)＝1＞0，h()＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在區(qū)間(3，)、(，4)內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在(0，3)，(4，＋∞)內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)m＝3，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個不同的實(shí)數(shù)根.