Question

已知 100^m=5，10ⁿ=2．
（1）求 2m+n的值；
（2）x₁、x₂、…、x₁₀均為正實數(shù)，若函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），且f（x₁•x₂•…•x₁₀）=2m+n，求f（x₁²）+f（x₂²）+…+f（x₁₀²）的值．

Answer 1

解：（1）∵100^m=5，10ⁿ=2，
∴2m=lg5，n=lg2，
∴2m+n=lg5+lg2=lg10=1．
（2）∵x₁、x₂、…、x₁₀均為正實數(shù)，
函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
且f（x₁•x₂•…•x₁₀）=2m+n，
∴f（x₁x₂…x₁₀）=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₀）=1，
∴
=2[f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）]
=2×1=2．
分析：（1）由100^m=5，10ⁿ=2，知2m=lg5，n=lg2，由此能求出2m+n的值．
（2）由（1）知f（x₁x₂…x₁₀）=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₁₀）=1，由此能求出的值．
點評：本題考查對數(shù)的性質(zhì)和運算法則，考查對數(shù)式和指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，仔細解答．