Question

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)f（x）＝被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則關(guān)于函數(shù)f（x）有如下四個(gè)命題：

①f（f（x））＝0；

②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；

③f（x）是周期函數(shù)；

④存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形；

⑤存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為直角三角形.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

 

Answer 1

D

【解析】

試題分析：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）＝1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（x）＝0

∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（f（x））＝f（1）＝1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（f（x））＝f（0）＝1

即不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））＝1，故①不正確；

②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，

∴對(duì)任意x∈R，都有f（－x）＝－f（x），故②正確；

③任取非零有理數(shù)T，若x是有理數(shù)，則x＋T也是有理數(shù)；

若x是無(wú)理數(shù)，則x＋T也是無(wú)理數(shù)

∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，f（x＋T）＝f（x）對(duì)x∈R恒成立，故③正確；

④取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0

∴A（，0），B（0，1），C（－，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．

⑤取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0

∴A（，0），B（0，1），C（－，0），恰好△ABC為直角三角形，故⑤正確．

考點(diǎn)：分段函數(shù)的綜合應(yīng)用