Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB₁的長為4，過點B作B₁C的垂線交側(cè)棱CC₁于點E，交B₁C于點F．
（1）求異面直線BA₁和D₁B₁所成的角的余弦值；
（2）證明A₁C⊥平面BED；
（3）求平面BDA₁與平面BDE所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D-xyz．
（1）求出

BA1

=（0，-2，4），

D1B1

=（2，2，0），利用向量的夾角公式，可求異面直線BA₁和D₁B₁所成的角的余弦值；
（2）先求

BE

=（-2，0，1），再證明

A1C

⊥

DB

，

A1C

⊥

BE

，可得A₁C⊥平面BED；
（3）求出平面BDA₁的法向量

m

=(-2，2，1)、平面BDE的一個法向量為

A1C

=（-2，2，-4），利用向量的夾角公式，可求平面BDA₁與平面BDE所成的角的余弦值．

解答：以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，如圖，D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）
（1）解：

BA1

=（0，-2，4），

D1B1

=（2，2，0），∴|cos＜

BA1

，

D1B1

＞|=|

BA1 • D1B1

| BA1 || D1B1 |

|=|

-4

2 5 ×2 2

|=

10

10

；
（2）證明：設(shè)E（0，2，t），則

BE

=（-2，0，t），

B1C

=（-2，0，-4）．
∵BE⊥B₁C，∴

BE

•

B1C

=0
∴4+0-4t=0，∴t=1．
∴E（0，2，1），∴

BE

=（-2，0，1），
∵

A1C

=（-2，2，-4），

DB

=（2，2，0），
∴

A1C

•

DB

=0，

A1C

•

BE

=0
∴

A1C

⊥

DB

，

A1C

⊥

BE

∵DB∩BE=B，∴A₁C⊥平面BED；
（3）解：

BA1

=（0，-2，4），

DB

=（2，2，0）
設(shè)平面BDA₁的法向量為

m

=(x，y，z)，則

-2y+4z=0 2x+2y=0

，∴

m

=(-2，2，1)
由（2）知平面BDE的一個法向量為

A1C

=（-2，2，-4），
∴cos＜

A1C

，

m

＞=

A1C • m

|A1C || m |

=

-4

3×2 6

=-

6

9

∵平面BDA₁與平面BDE所成的角為銳二面角
∴平面BDA₁與平面BDE所成的角的余弦值為

6

9

．

點評：本題考查線面垂直，考查線線角，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，屬于中檔題．