Question

已知函數(shù)f(x)=x2+

2

x

+alnx，a∈R
（Ⅰ）若a=-4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（Ⅲ）記函數(shù)g（x）=x²f'（x），若g（x）的最小值是-6，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=-4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函數(shù)的增區(qū)間，求出f′（x）＜0得到函數(shù)的減區(qū)間；
（Ⅱ）f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，等價(jià)于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，利用分離參數(shù)法可得a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立，求右邊函數(shù)的最大值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）g（x）=x²f'（x）=2x³+ax-2，g′（x）=6x²+a，分類討論求出函數(shù)的最小值點(diǎn)．利用g（x）的最小值是-6，可求函數(shù)f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，f(x)=x2+

2

x

-4lnx⇒f′(x)=2x-

2

x2

- 

4

x

．由函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0，
∴f'（x）＞0⇒x＞

5 +1

2

，f'（x）＜0⇒0＜x＜

5 +1

2

．
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

5 +1

2

），單調(diào)遞增區(qū)間為（

5 +1

2

，+∞）
（Ⅱ）f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
∴a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立
令h(x)=

2

x

-2x2，x∈[1，+∞），則問(wèn)題等價(jià)于a≥h（x）_max
∵h(x)=

2

x

-2x2在[1，+∞）上單調(diào)遞減
∴h（x）_max=h（1）=0，∴a≥0
（Ⅲ）g（x）=x²f'（x）=2x³+ax-2，g′（x）=6x²+a
①a≥0，g，（x）=6x²+a＞0恒成立，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）沒(méi)有最小值．
②a＜0，g^，（x）=6x²+a=0，∴x=

- a 6

∴函數(shù)在（0，

- a 6

）上單調(diào)遞減，在（

- a 6

，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）在x=

- a 6

處取得最小值
∴-

a

3

- a 6

+a

- a 6

-2=-6，∴a=-6
∴f(x)=x2+

2

x

-6lnx

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力．