【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)(其中點(diǎn)軸上方),的周長(zhǎng)為8

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)如圖,把平面沿軸折起來(lái),使軸正半軸和軸確定的半平面,與負(fù)半軸和軸所確定的半平面互相垂直.

①若,求異面直線所成角的大小;

②若折疊后的周長(zhǎng)為,求的大。

【答案】(1) (2)①

【解析】

1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,的周長(zhǎng)是,從而得,于是可得,從而得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)①求出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立求出兩點(diǎn)坐標(biāo),折疊后建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,寫出此時(shí)各點(diǎn)坐標(biāo),求出的坐標(biāo),用向量數(shù)量積計(jì)算向量夾角可得異面直線所成的角.

②設(shè)直線方程為,代入橢圓方程,設(shè)設(shè)折疊前,,則折疊后,,由韋達(dá)定理得,折疊前后兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差為,在空間直角坐標(biāo)系中,由兩點(diǎn)間距離公式得一等式,結(jié)合韋達(dá)定理所得可求得,從而得,得到傾斜角.

1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,

由橢圓的性質(zhì)可知:,

的周長(zhǎng),即,,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:;

2)①設(shè)直線,

代入橢圓方程,解得:,,

,

折疊后主要是四點(diǎn)位置.擦去橢圓如下圖,建立空間直角坐標(biāo)系,

在空間直角坐標(biāo)系中,,

,,,,

異面直線所成角為,則,

∴異面直線所成角的大小;

②折疊后對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為,如圖

設(shè)折疊前,則,

,,則,

設(shè)折疊前直線方程為,

,整理得:,

,,

,

,(1

,

,(2

∴由(1),(2)可知:,

,

,

,

,則,

解得:,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知為實(shí)數(shù),函數(shù),且函數(shù)是偶函數(shù),函數(shù)在區(qū)間上的減函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù).

1)求函數(shù)的解析式;

2)求實(shí)數(shù)的值;

3)設(shè),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使得在區(qū)間上有最小值為?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),,點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),直線與橢圓相交于不同于點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)、.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)當(dāng)時(shí),求面積的最大值;

3)若,求證:為定值.

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【題目】已知函數(shù)

1)若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2)若的最小值為,求實(shí)數(shù)的值;

3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)、,均存在以、為三邊邊長(zhǎng)的三角形,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某租車公司給出的財(cái)務(wù)報(bào)表如下:

年度

項(xiàng)目

2014

1-12月)

2015

1-12月)

2016

1-11月)

接單量(單)

14463272

40125125

60331996

油費(fèi)(元)

214301962

581305364

653214963

平均每單油費(fèi)(元)

14.82

14.49

平均每單里程(公里)

15

15

每公里油耗(元)

0.7

0.7

0.7

有投資者在研究上述報(bào)表時(shí),發(fā)現(xiàn)租車公司有空駛情況,并給出空駛率的計(jì)算公式為.

1)分別計(jì)算2014,2015年該公司的空駛率的值(精確到0.01%);

22016年該公司加強(qiáng)了流程管理,利用租車軟件,降低了空駛率并提高了平均每單里程,核算截止到1130日,空駛率在2015年的基礎(chǔ)上降低了20個(gè)百分點(diǎn),問(wèn)2016年前11個(gè)月的平均每單油費(fèi)和平均每單里程分別為多少?(分別精確到0.01元和0.01公里).

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【題目】選修44:極坐標(biāo)與參數(shù)方程

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy,O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線C (α為參數(shù)),在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系直線lρ.

()求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;

()曲線C上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離相等,分別求出這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)

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【題目】某公司舉辦捐步公益活動(dòng),參與者通過(guò)捐贈(zèng)每天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)獲得公司提供的牛奶,再將牛奶捐贈(zèng)給留守兒童.此活動(dòng)不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn),公司還獲得了相應(yīng)的廣告效益.據(jù)測(cè)算,首日參與活動(dòng)人數(shù)為人,以后每天人數(shù)比前一天都增加,天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第天的水平,假設(shè)此項(xiàng)活動(dòng)的啟動(dòng)資金為萬(wàn)元,每位捐步者每天可以使公司收益元(以下人數(shù)精確到人,收益精確到元).

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2)活動(dòng)開(kāi)始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余?

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i)老年人的人數(shù)多于中年人的人數(shù);

ii)中年人的人數(shù)多于青年人的人數(shù);

iii)青年人的人數(shù)的兩倍多于老年人的人數(shù).

①若青年人的人數(shù)為4,則中年人的人數(shù)的最大值為___________.

②抽取的總?cè)藬?shù)的最小值為__________

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【題目】《中央廣播電視總臺(tái)2019主持人大賽》是中央人民廣播電視總臺(tái)成立后推出的第一個(gè)電視大賽,由撒貝寧擔(dān)任主持人,康輝、董卿擔(dān)任點(diǎn)評(píng)嘉賓,敬一丹、魯健、朱迅、俞虹、李宏巖等位擔(dān)任專業(yè)評(píng)審.20191026日起,每周六在中央電視臺(tái)綜合頻道播出,某傳媒大學(xué)為了解大學(xué)生對(duì)主持人大賽的關(guān)注情況,分別在大一和大二兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生場(chǎng)均關(guān)注比賽的時(shí)間頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表,并將場(chǎng)均關(guān)注比賽的時(shí)間不低于分鐘的學(xué)生稱為賽迷”.

大一學(xué)生場(chǎng)均關(guān)注比賽時(shí)間的頻率分布直方圖大二學(xué)生場(chǎng)均關(guān)注比賽時(shí)間的頻數(shù)分布表

(1)將頻率視為概率,估計(jì)哪個(gè)年級(jí)的大學(xué)生是賽迷的概率大,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)已知抽到的名大一學(xué)生中有男生名,其中名為賽迷”.試完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為賽迷與性別有關(guān).

賽迷

賽迷

合計(jì)

合計(jì)

附:,其中span>.

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