Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）．過(guò)點(diǎn)（0， ）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．（14分）
（1）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）求證：A為線段BM的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1），

∴1=2p，

解得p= ，

∴y2=x，

∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0），準(zhǔn)線為x=﹣ ，

（2）

（2）證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)（0， ）的直線方程為

y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），

∴直線OP為y=x，直線ON為：y= x，

由題意知A（x1，x1），B（x1， ），

由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0，

∴x1+x2= ，x1x2=

∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ =

∴A為線段BM的中點(diǎn)．

【解析】（1.）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)P（1，1）．代值求出p，即可求出拋物線C的方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2.）設(shè)過(guò)點(diǎn)（0， ）的直線方程為y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），根據(jù)韋達(dá)定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根據(jù)中點(diǎn)的定義即可證明．