如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=4,BC=CD=
7
,點E為線段AD上的一點.現(xiàn)將△DCE沿線段EC翻折到PAC,使得平面PAC⊥平面ABCE,連接PA,PB.
(Ⅰ)證明:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若∠BAD=60°,且點E為線段AD的中點,求直線PE與平面ABCE所成角的正弦值.
(Ⅰ)證明:連接AC,BD交于點O,在四邊形ABCD中,
∵AB=AD=4,BC=CD=
7

∴△ABC≌△ADC,∴∠DAC=∠BAC,∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE,且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…(6分)
(Ⅱ)如圖,過點P作AC的垂線,垂足為H,連接EH,EC,并取AO中點F,連接EF,
∵平面PAC⊥平面ABCE,且平面PAC∩平面ABCE=AC,PH⊥AC
∴PH⊥平面ABCE,∴∠PEH即為直線PE與平面ABCE的所成角,
由(Ⅰ)可知,AC⊥BD,且AO=2
3
,CO=
3
,
又PE=2,PC=
7
,設CH=x,則有PH=
7-x2
,EH=
PE2-PH2
=
x2-3

又∵F為AO的中點,在Rt△EFH中,FH=2
3
-x
,EF=1
由勾股定理得,(2
3
-x)2+1=x2-3
,解得x=
4
3
3
,
EH=
2
3
3
,PH=
5
3
3

∴直線PE與平面ABCE的所成角的正弦值即sin∠PEH=
EH
PE
=
3
3

練習冊系列答案
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8
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A.
2
2
B.
15
5
C.
6
4
D.
6
3

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3

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A.30°B.45°C.90°D.60°

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(1)求二面角E-AB-D的大小;
(2)求四面體ABDE的表面積.

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