【題目】已知拋物線和動直線.直線交拋物線于兩點,拋物線在處的切線的交點為.
(1)當(dāng)時,求以為直徑的圓的方程;
(2)求面積的最小值.
【答案】(1)(2)4
【解析】
(1)聯(lián)立直線方程和拋物線方程,求出點A、B的坐標(biāo),進而可求出,以及線段AB的中點坐標(biāo),因此可寫出以為直徑的圓的方程;(2)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出
拋物線在處的切線方程,聯(lián)立可得點N,再利用三角形面積公式,分別求出以及點N到直線AB的距離,即可表示出面積,最后由函數(shù)的單調(diào)性得出最小值。
設(shè).
聯(lián)立,消去得,設(shè).
解得
則
設(shè)線段的中點坐標(biāo)為,則,,
則以為直徑的圓的方程為.
(2)由得.
易得直線,直線
聯(lián)立
由(1)得
由(2)同理可得.
由,得,
得
聯(lián)立得,則.
所以,
.即
所以
點到直線
的距離.
所以
顯然,當(dāng)時,△的面積最小,最小值為4.
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【題目】已知,分別為雙曲線的左、右焦點,以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為,,設(shè)四邊形的周長為,面積為,且滿足,則該雙曲線的離心率為______.
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【題目】自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況,隨機抽取了100人,統(tǒng)計結(jié)果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)現(xiàn)隨機抽取1名顧客,試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率;
(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中,隨機抽取3人進一步了解情況,用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計有5000人購物,試估計該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋.
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【題目】窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個正十字形剩下的部分,正十字形的頂點都在圓周上.已知正十字形的寬和長都分別為x,y(單位:dm)且x<y,若剪去的正十字形部分面積為4dm2.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求其定義域;
(2)現(xiàn)為了節(jié)約紙張,需要所用圓形紙片面積最。(dāng)x取何值時,所用到的圓形紙片面積最小,并求出其最小值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)對任意的,,,恒有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,.
(1)證明:當(dāng)點在上運動時,始終有平面平面;
(2)求銳二而角的余弦值.
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【題目】甲、乙、丙三人參加微信群搶紅包游戲,規(guī)則如下:每輪游戲發(fā)個紅包,每個紅包金額為元,.已知在每輪游戲中所產(chǎn)生的個紅包金額的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求的值,并根據(jù)頻率分布直方圖,估計紅包金額的眾數(shù);
(2)以頻率分布直方圖中的頻率作為概率,若甲、乙、丙三人從中各搶到一個紅包,其中金額在的紅包個數(shù)為,求的分布列和期望.
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【題目】如圖,直三棱柱的底面是等腰直角三角形,,側(cè)棱底面,且,是的中點.
(1)求直三棱柱的全面積;
(2)求異面直線與所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示);
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