Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）設(shè)兩點(diǎn)，，且，若函數(shù)的圖象分別在點(diǎn)、處的兩條切線互相垂直，求的最小值；

（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）．

【解析】

（1）求得的導(dǎo)數(shù)即可得切線的斜率，再由兩直線垂直的條件，結(jié)合基本不等式即可得所求最小值；

（2）設(shè)函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，討論的范圍，判斷單調(diào)性，可得極值和最小值，再由最小值不小于，解不等式可得所求范圍.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，故，

即，且，．

所以．

當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號(hào)成立．

所以函數(shù)的圖象分別在點(diǎn)處的兩條切線互相垂直時(shí)，的最小值為1．

（2），．

設(shè)函數(shù)=（），

則．

由題設(shè)可知≥0，即．令=0得，，．

①若，則，∴，，，

，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

故在取最小值．

而，

∴當(dāng)時(shí)，，即恒成立．

②若，則，∴當(dāng)時(shí)，，

∴在單調(diào)遞增，而，∴當(dāng)時(shí)，，

即恒成立．

③若，則，

∴當(dāng)時(shí)，不可能恒成立．

綜上所述，的取值范圍為．