精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，E、F、H分別是線段PA、PD、AB的中點．
（1）求證：PD⊥平面AHF；
（2）求證：平面PBC∥平面EFH．
分析：（1）要證PD⊥平面AHF，須證PD垂直面內(nèi)兩條相交直線即可．
（2）要證平面PBC∥平面EFH，須證平面PBC內(nèi)的兩相交直線都與平面EFH平行即可．
解答：證明：（1）因為AP=AD，且F為PD的中點，所以PD⊥AF．
因為PA⊥平面ABCD，且AH?平面ABCD，所以AH⊥PA；
因為ABCD為正方形，所以AH⊥AD；    
又PA∩AD=A，所以AH⊥平面PAD．
因為PD?平面PAD，所以AH⊥PD．
又AH∩AF=A，所以PD⊥平面AHF．
（2）因為E、H分別是線段PA、AB的中點，所以EH∥PB．
又PB?平面PBC，EH?平面PBC，所以EH∥平面PBC．
因為E、F分別是線段PA、PD的中點，所以EF∥AD，
因為ABCD為正方形，所以AD∥BC，所以EF∥BC，
又BC?平面PBC，EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC．
因為EF∩EH=E，且EF?平面EFH，EH?平面EFH，所以平面PBC∥平面EFH．
點評：本題考查空間直線與平面之間的位置關系，平面與平面之間的位置關系，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案