Question

如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，點(diǎn)E在棱AA₁上，A₁C∥平面EBD，截面EBD的面積為．
（1）A₁C與底面ABCD所成角的大��；
（2）若AC與BD的交點(diǎn)為M，點(diǎn)T在CC₁上，且MT⊥BE，求MT的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EM，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知A₁C∥EM，易知∠A₁CA為A₁C與底面ABCD的所成角，在△A₁CA中，求出此角即可；
（2）建立直角坐標(biāo)系D-xyz則求出E，B，M的坐標(biāo)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1，z），根據(jù)BE⊥MT則•=0求出z，根據(jù)向量的模就是線段的長即可求出MT的長．
解答：解：（1）如圖所示，連接EM因?yàn)锳₁C∥平面EBD，平面A₁CA∩平面EBD=EM，
所以A₁C∥EM；又M為AC的中點(diǎn)，故E為AA₁的中點(diǎn)
∴S△EBD=וME=則ME=1
∵AA₁⊥底面ABCD∴∠A₁CA為A₁C與底面ABCD的所成角
在△A₁CA中，A₁C=2EM=2
cos∠A₁CA=
∴A₁C與底面ABCD所成角的大小45°
（2）如圖建立直角坐標(biāo)系D-xyz則E（1，0，），B（1，1，0），M（，，0）設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1，z）
故=（0，-1，），=（-，，z）
∵BE⊥MT∴•=0
∴+z=0
∴z=∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，1，）
=（-，，）∴||=1
故MT=1
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的性質(zhì)，直線與平面所成的角，線段長的度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力．