Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面圓周上，點F在DE上，且AF⊥DE，若圓柱的側面積與△ABE的面積之比等于4π． 
（Ⅰ）求證：AF⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證BE⊥AF，而AF?平面ADE，可先證BE⊥平面ADE，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BE與平面ADE內兩相交直線垂直，根據線面垂直的性質可知BE⊥AF，又AF⊥DE，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）取BD的中點M，連接AM，FM，根據二面角平面角的定義可知∠AMF為二面角A-BD-E的平面角，過點E作EO⊥AB，垂足為O，在Rt△AFM中，求出此角的正弦值即可求出所求．
解答：解：（Ⅰ）因為AD⊥平面ABE，所以AD⊥BE．（1分）
又AE⊥BE，AD∩AE=A，所以BE⊥平面ADE．（2分）
因為AF?平面ADE，所以BE⊥AF．（3分）
又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD．（4分）

（Ⅱ）取BD的中點M，連接AM，FM．
因為AB=AD，則AM⊥BD．因為AF⊥平面BDE，則AF⊥BD．
所以BD⊥平面AFM，從而FM⊥BD，所以∠AMF為二面角A-BD-E的平面角．（6分）
過點E作EO⊥AB，垂足為O．
設圓柱的底半徑為r，因為圓柱的軸截面ABCD是正方形，
則圓柱的母線長為2r，所以其側面積為2πr•2r=4πr²，
又△ABE的面積為．
由已知，，則OE=r，
所以點O為圓柱底面圓的圓心．（8分）
在Rt△AOE中，．
在Rt△DAE中，，．（10分）
又，在Rt△AFM中，．
故二面角A-BD-E的正弦值為．（12分）
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及二面角的度量等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，計算能力，以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．