Question

已知關(guān)于x的方程（1-a）x²+（a+2）x-4=0，a∈R，求：
（Ⅰ）方程有兩個(gè)正根的充要條件
（Ⅱ）方程至少有一個(gè)正根的充要條件．

Answer 1

分析：（1）方程有兩個(gè)正根，首先要保證方程有兩個(gè)根，即該方程為二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)不為零），且△≥0，再由根與系數(shù)的關(guān)系，可得兩根之和、兩根之積均為正，構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到答案．（II）方程至少有一個(gè)正根，包含這樣幾種情況：①方程有兩個(gè)正根②方程有一個(gè)非正根和一正根③方程為一次方程，只有一正根．分類討論后綜合即可得到答案．

解答：解：首先方程有二實(shí)根的充要條件是：

1-a≠0   △=(a+2)2+16(1-a)≥0

解之得：a≥10或a≤2且a≠1
設(shè)方程的二實(shí)根為x₁，x₂，則x1+x2=

a+2

a-1

，x1x2=

4

a-1

（Ⅰ）x₁，x₂均為正根?

a≠1       a≤2或a≥10       x1+x2= a+2 a-1 ＞0       x1x2= 4 a-1 ＞0

解之得：1＜a≤2或a≥10
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥10或1＜a≤2時(shí)，方程有兩個(gè)正根
②方程有一正根，一負(fù)根?

a≠1     a＜2或a＞10     x1x2= 4 a-1 ＜0

解得：a＜1
③當(dāng)a=1時(shí)，方程化為3x-4=0，有一個(gè)正根x=

4

3

綜合①②③得，方程至少有一個(gè)正根的充要條件是q≤2或q≥10

點(diǎn)評(píng)：遇到類二次方程/函數(shù)/不等式（即解析式的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)）時(shí)，一般要進(jìn)行分類討論，分類的情況一般有：①先討論二次項(xiàng)系數(shù)a是否為0，以確定次數(shù)②再討論二次項(xiàng)系數(shù)a是否大于0，以確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的開(kāi)口方向，③再討論△與0的關(guān)系，以確定對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)．