Question

【題目】已知橢圓E: 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．探求直線AB是否過(guò)定點(diǎn)，如果經(jīng)過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線AB過(guò)定點(diǎn)Q（0，﹣2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程；（2）先由特殊情況得到結(jié)果，再考慮一般情況，聯(lián)立直線和橢圓得到二次函數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理，和向量坐標(biāo)化的方法，得到結(jié)果。

（Ⅰ）由橢圓的離心率e=，則a2=4b2， 將P（2，1）代入橢圓，則，解得：b2=2，則a2=8， ∴橢圓的方程為： ；

（Ⅱ）當(dāng)M，N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí)，顯然直線AB為y軸，所以若直線過(guò)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)一點(diǎn)在y軸上，

當(dāng)M，N不是短軸的端點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），

由消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，·則△=16（8k2﹣t2+2）＞0，

x1+x2=，x1x2=，

又直線PA的方程為y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），

因此M點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ），同理可知：N（0， ），

由，則+=0，

化簡(jiǎn)整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，

則（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0，

當(dāng)且僅當(dāng)t=﹣2時(shí)，對(duì)任意的k都成立，直線AB過(guò)定點(diǎn)Q（0，﹣2）.