(2012•日照一模)給出下列四個(gè)命題:
①命題“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;
②若0<a<1,則函數(shù)f(x)=x2+ax-3只有一個(gè)零點(diǎn);
③函數(shù)y=sin(2x-
π
3
)
的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-
π
12
12
]
;
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=f(x),且當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,則當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0.
其中真命題的序號(hào)是
①③④
①③④
(把所有真命題的序號(hào)都填上).
分析:根據(jù)含有量詞的命題否定法則,得①是真命題;通過(guò)舉例說(shuō)明,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,可得②不正確;根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得③是真命題;根據(jù)函數(shù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)奇偶性的關(guān)系,并結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì),可得④是真命題.
解答:解:根據(jù)含有量詞的命題否定法則,可得命題“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”,故①正確;
若0<a<1,取a=
1
2
,則f(x)=x2+(
1
2
x-3滿足:f(0)=-1<0且f(
3
)=(
1
2
)
3
>0
所以f(0)•f(
3
)<0在區(qū)間(0,
3
)有一個(gè)零點(diǎn),又有f(-1)=0,故函數(shù)f(x)有不止一個(gè)零點(diǎn),故②不正確;
對(duì)于③,因?yàn)?span id="uen52wl" class="MathJye">y=sin(2x-
π
3
)的單調(diào)增區(qū)間為[-
π
12
+kπ,
12
+kπ]
,(k∈Z)
所以取k=0,得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-
π
12
12
]
,故③正確;
對(duì)于④,任意實(shí)數(shù)x有f(-x)=f(x),得函數(shù)f(x)是偶函數(shù),可得導(dǎo)數(shù)f'(x)是奇函數(shù)
所以根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),可得:“當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0”成立時(shí),
必定有“當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0”成立,故④正確.
故答案為①③④
點(diǎn)評(píng):本題以命題真假的判斷為載體,考查了含有量詞命題的否定、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•日照一模)在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn).
(1)求證:BD⊥EG;
(2)求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•日照一模)已知定義在R上奇函數(shù)f(x)滿足①對(duì)任意x,都有f(x+3)=f(x)成立;②當(dāng)x∈[0,
3
2
]
時(shí)f(x)=
3
2
-|
3
2
-2x|
,則f(x)=
1
|x|
在[-4,4]上根的個(gè)數(shù)是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•日照一模)已知f(x)=
m
n
,其中
.
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
.
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
(ω>0).若f(x)圖象中相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離不小于π.
(I)求ω的取值范圍;
(II)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,a=
7
,S△ABC=
3
2
,當(dāng)ω取最大值時(shí),f(A)=1,求b,c的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•日照一模)給出下列四個(gè)命題:
①命題“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;
②若0<a<1,則函數(shù)f(x)=x2+ax-3只有一個(gè)零點(diǎn);
③函數(shù)y=2
2
sinxcosx
[-
π
4
,
π
4
]
上是單調(diào)遞減函數(shù);
④若lga+lgb=lg(a+b),則a+b的最小值為4.
其中真命題的序號(hào)是
①④
①④
(把所有真命題的序號(hào)都填上).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案