Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N* ， 都有（an﹣1）（an+3）=4Sn ， 其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（1）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵對(duì)任意n∈N*，都有（an﹣1）（an+3）=4Sn，即 ．

∴當(dāng)n≥2時(shí)，4an=4（Sn﹣Sn﹣1）= ﹣ = ﹣2an﹣1，

化為（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵對(duì)任意n∈N*，an＞0．

∴an+an﹣1＞0．

∴an﹣an﹣1=2．

∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為2

（2）解：由（1），a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

∴ =4n（n+1），

∴ = = ，n∈N*；

∴Tn=

【解析】（1）由已知利用“當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1”即可求得an與an﹣1的關(guān)系，進(jìn)而證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列．（2）利用（1）可得 = = ，n∈N* ， 再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．