Question

設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）討論與的大小關(guān)系；
（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間；區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間；最小值是
（2）當時，=0，∴；
當時，=0，∴．
（3）不存在，見解析

（1）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負；（3）存在性問題通常采用假設(shè)存在，然后進行求解；注意利用前兩問的結(jié)論．
（1）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即，
∴；，
∴，令，即，解得，
當時，，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間；
當時，，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間；
所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，
所以的最小值是．
（2），設(shè)，
則，
當時，，即，
當時，，，
因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
當時，=0，∴；
當時，=0，∴．
（3）滿足條件的不存在．證明如下：
證法一 假設(shè)存在，使對任意成立，
即對任意有             ①
但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，
因此不存在，使對任意成立．
證法二 假設(shè)存在，使對任意成立，
由（1）知，的最小值是，
又，而時，的值域為，
∴當時，的值域為，
從而可以取一個值，使，即,
∴，這與假設(shè)矛盾．
∴不存在，使對任意成立．