Question

（2012•福州模擬）假設(shè)某班級(jí)教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí)，每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉，且概率均為0.5，記此時(shí)教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為X．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉，班長(zhǎng)就會(huì)將關(guān)閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為y，求y的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，X～B（4，0.5），由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）Y的所有可能取值為3，4，分別求出p（Y=3）和P（Y=4）的值，由此能求出Y的期望值E（Y）．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵X的所有可能取值為0，1，2，3，4，X～B（4，0.5），（1分）
∴P（X=0）=

C

0 4

(

1

2

)4=

1

16

，P（X=1）=

C

1 4

(

1

2

)4=

1

4

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

2

)4=

3

8

，P（X=3）=

C

3 4

(

1

2

)4=

1

4

，
P（X=4）=

C

4 4

(

1

2

)4=

1

16

，（6分）
∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	1 16	1 4	3 8	1 4	1 16

（7分）
（Ⅱ）Y的所有可能取值為3，4，則（8分）
p（Y=3）=P（X=3）=

1

4

，（9分）
P（Y=4）=1-P（Y=3）=

3

4

，（11分）
∴Y的期望值E（Y）=3×

1

4

+4×

3

4

=

15

4

．
答：Y的期望值E（Y）等于

15

4

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的合理運(yùn)用．