Question

F₁、F₂分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，斜率為1且過F₁的直線l與C的右支交于點P，若∠F₁F₂P=90°，則雙曲線C的離心率等于

1+

2

．

Answer 1

分析：由斜率為1的直線的傾斜角為45°，且∠F₁F₂P=90°，得出三角形F₁F₂P是一個等腰三角形，從而有F₁P=

2

c，F(xiàn)₂P=2c，再結(jié)合雙曲線的定義，即能求出雙曲線的離心率．

解答：解：在三角形F₁F₂P中，由題意得∠F₁F₂P=90°，又∠F₁F₂P=90°，
∴三角形F₁F₂P是一個等腰直角三角形，且F₁F₂=2c，
從而有F₁P=

2

c，F(xiàn)₂P=2c，
由雙曲線定義F₁P-F₂P=2a得 2

2

c-2c=2a，
∴

c

a

=

2

2 2 -2

=1+

2

．
故答案為：1+

2

．

點評：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線方程，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運用雙曲線的性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．