Question

(本小題滿分12分)
已知點(diǎn),是平面上一動(dòng)點(diǎn),且滿足,
(1)求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程;
(2)已知點(diǎn)在曲線上,過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條弦,且的斜率為滿足,試判斷動(dòng)直線是否過(guò)定點(diǎn),并證明你的結(jié)論.

Answer 1

(1)即為對(duì)應(yīng)的方程；(2)直線恒過(guò)定點(diǎn).

第一問(wèn)是平面向量與解析幾何得結(jié)合，體現(xiàn)了向量運(yùn)算的工具作用。熟練向量的運(yùn)算對(duì)于解決這類問(wèn)題很有幫助。第二問(wèn)考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題的思路一般是將直線方程代入曲線方程消去一個(gè)未知數(shù)，然后利用韋達(dá)定理處理。
解：(1)由 可知 …………………………1分
設(shè),則,…………2分
代入得:
化簡(jiǎn)得:即為對(duì)應(yīng)的方程,        …………………………5分
(2)將代入得∴ …………………………6分
設(shè)直線的方程為:
代入消得: …………………………7分
記
則 …………………………8分
∵∴且
∴
∴
∴ …………………………10分
當(dāng)時(shí)代入得: 過(guò)定點(diǎn)
當(dāng)時(shí)代入得:過(guò),不合題意,舍去.
綜上可知直線恒過(guò)定點(diǎn).…………………………12分