Question

（09年湖北重點中學聯(lián)考理）（13分）

已知數(shù)列的通項公式是，數(shù)列是等差數(shù)列，令集合，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為．

（1）若，，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，數(shù)列的前5項成等比數(shù)列，且，．

（i）求證：元素2不可能是數(shù)列中的第項（）

              （ii）證明：當時，（）．

Answer 1

解析：（1）若，因為5，6，7 ，則5，6，7， 由此可見，等差數(shù)列的公差為1，而3是數(shù)列中的項， 所以3只可能是數(shù)列中的第1，2，3項，

若，則， 若，則，若，則； … 4分

（寫出一個或兩個通項公式得2分，全部寫出得4分）

（2） () 若2是數(shù)列的第項（），則，

即數(shù)列的公差，

所以，1，2，4<，所以1，2，4在數(shù)列的

前8項中，由于，這樣，，，…，以及1，2，4共9項，

它們均小于8，即數(shù)列的前9項均小于8，這與矛盾       8分

 ()首先對元素2進行分類討論：

 ①若2是數(shù)列的第2項，由的前5項成等比數(shù)列，得

，這顯然不可能；

②若2是數(shù)列的第3項，由的前5項成等比數(shù)列，得，因為數(shù)列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的， 所以，則，因此數(shù)列的前5項分別為1，，2，，4，這樣， 則數(shù)列的前9項分別為1，，2，，4，，，，8

上述數(shù)列符合要求；                                           12分

又由①知元素2不可能是數(shù)列中的第k項（）.綜上所述，

又當時， ，因為是公差為的等差數(shù)列，

  所以，所以

                                                          13分