Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都是2，又AA₁平面ABC，D、E分別是AC、CC₁的中點．
（1）求證：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的余弦值；
（3）求點B₁到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析：（1）以DA所在直線為x軸，過D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，確定向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積為0，即可證得結(jié)論；
（2）確定面DA₁B的法向量、面AA₁B的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角D-BA₁-A的余弦值；
（3）

B1B

=（0，2，0），平面A₁BD的法向量取

n1

=（2，1，0），利用距離公式可求點B₁到平面A₁BD的距離

解答：（1）證明：以DA所在直線為x軸，過D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），C（-1，0，0），E（-1，-1，0），A₁（1，-2，0），C₁（-1，-2，0），B（0，0，

3

）
∴

AE

=（-2，-1，0），

A1D

=（-1，2，0），

BD

=（0，0，-

3

）
∴

AE

•

A1D

=0，

AE

•

BD

=0
∴

AE

⊥

A1D

，

AE

⊥

BD

又A₁D與BD相交
∴AE⊥面A₁BD             …（5分）
（2）解：設(shè)面DA₁B的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），則

-x1+2y1=0 z1=0

，取

n1

=（2，1，0）…（7分）
設(shè)面AA₁B的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），則

-x2+2y2+ 3 z2=0 2y2=0

，取

n2

=（3，0，

3

） …（9分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 |•| n2 |

=

6

5 • 12

=

15

5

故二面角D-BA₁-A的余弦值為

15

5

    …（10分）
（3）解：

B1B

=（0，2，0），平面A₁BD的法向量取

n1

=（2，1，0）
則B₁到平面A₁BD的距離為d=|

B1B • n1

| n1 |

|=

2 5

5

  …（13分）

點評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查線面垂直，考查面面角，考查點到面的距離，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．