Question

已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知點(diǎn)和函數(shù)圖象上動(dòng)點(diǎn)，對任意，直線傾斜角都是鈍角，求的取值范圍．

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）

解析試題分析：（1）先求導(dǎo)，再令導(dǎo)數(shù)等于0，解導(dǎo)數(shù)大于0得函數(shù)的增區(qū)間，解導(dǎo)數(shù)小于0得函數(shù)的減區(qū)間。（2）可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，即在上。先求導(dǎo)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/15/f/buysy1.png" style="vertical-align:middle;" />，故可只討論分子的正負(fù)問題，不妨令，討論在區(qū)間上的正負(fù)問題，同時(shí)注意對的討論。根據(jù)導(dǎo)數(shù)正得增區(qū)間導(dǎo)數(shù)負(fù)得減區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。
解：⑴ 當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/29/8/1upnt2.png" style="vertical-align:middle;" />，


所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
⑵ 因?yàn)閷θ我?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0d/d/17yew2.png" style="vertical-align:middle;" />，直線的傾斜角都是鈍角，
所以對任意，直線的斜率小于0，即，，
即在區(qū)間上的最大值小于1，
，．
令
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減， ，顯然成立，所以．
②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，
且，，
，，故，在上單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞減，，顯然成立，所以．
⑶ 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，且，．
所以，當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，．
所以在區(qū)間內(nèi)先遞減再遞增．
故在區(qū)間上的最大值只能是或．
所以 即所以．
綜上．
考點(diǎn)：1用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；2分類討論思想。