Question

（2013•紅橋區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=ax²-e^x（a∈R），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若當(dāng)x≥0時(shí)，不等式f（x）≤-x-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入點(diǎn)斜式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化為一般式方程；
（Ⅱ）先構(gòu)造函數(shù)g（x）=f′（x），再將題意轉(zhuǎn)化為x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，再求出g′（x），對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)分別求出g（x）的單調(diào)區(qū)間以及最大值，再令最大值大于零，列出關(guān)于a的不等式求解；
（Ⅲ）由題意先構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-ax²-x-1，轉(zhuǎn)化為h（x）≥0在[0，+∞）恒成立問(wèn)題，再求出h（x）的單調(diào)性和最小值，關(guān)鍵是對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)后，得到“當(dāng)a=0時(shí)，e^x≥1+x”這一結(jié)論在后面的應(yīng)用．

解答：心理年齡解：（Ⅰ）由題意得，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-e^x，
∴f′（x）=2x-e^x，則切線的斜率為f′（0）=-1，
∵f（0）=-e⁰=-1，
∴所求的切線方程為：x+y+1=0；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x）=2ax-e^x，
由題意得，x₁，x₂是方程g（x）=0（即2ax-e^x=0）的兩個(gè)實(shí)根，
則g′（x）=2a-e^x，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在定義域上遞減，即方程g（x）=0不可能有兩個(gè)實(shí)根，
當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）=0，得x=ln2a，
當(dāng)x∈（-∞，ln2a）時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在（-∞，ln2a）上遞增，
當(dāng)x∈（ln2a，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（-∞，ln2a）上遞減，
∴g_max（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a，
∵方程g（x）=0（即2ax-e^x=0）有兩個(gè)實(shí)根，
∴2aln2a-2a＞0，解得2a＞e即a＞

e

2

，
（Ⅲ）設(shè)h（x）=e^x-ax²-x-1，則由題意得h（x）=e^x-ax²-x-1≥0在[0，+∞）恒成立，
則h′（x）=e^x-2ax-1，
當(dāng)a=0時(shí)，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（0）=0，即e^x≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，
∴h′（x）=e^x-2ax-1≥1+x-2ax-1=x（1-2a），
當(dāng)1-2a≥0時(shí)，即a≤

1

2

，此時(shí)h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（0）=e⁰-0-1=0，即h（x）≥0，
因而a≤

1

2

時(shí)，h（x）≥0，
下面證明a＞

1

2

時(shí)的情況：
由e^x≥1+x得，e^-x≥1-x，即x≥1-e^-x，
∴h′（x）=e^x-1-2ax≤e^x-1-2a（1-e^-x）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a）
當(dāng)e^x＜2a時(shí)，即0＜x＜ln2a，則當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，h′（x）＜0，從而h（x）＜0，
因此，對(duì)于x≥0，f（x）≤-x-1不恒成立，
綜上所得，a的最大值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想以及分析、解決問(wèn)題的能力．