設函數(shù)f(x)=cos(2x+
π
6
)+sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）設A，B，C為△ABC的三個內角，若AB=1，sinB=
1
3
，f(
C
2
)=
3
2
，求AC的長．
分析：（1）先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，然后利用正弦函數(shù)的單調性，求得函數(shù)遞增時2x+
π
3
的范圍，進而求得x的范圍，則函數(shù)的單調增區(qū)間可求得．
（2）把x=
C
2
代入函數(shù)解析式求得C的值，進而求得sinC的值，利用正弦定理求得AC的值．
解答：解：f(x)=cos(2x+
π
6
)+sin2x=cos2xcos
π
6
-sin2xsin
π
6
+sin2x=
3
2
cos2x+
1
2
sin2x=sin(2x+
π
3
)
（1）令2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，則kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
](k∈Z).
（2）由已知f(
C
2
)=sin(C+
π
3
)=
3
2
，
因為0＜C＜π，∴
π
3
＜C+
π
3
＜
4π
3

所以C+
π
3
=
2π
3
，C=
π
3
，∴sinC=
3
2

在△ABC中，由正弦定理，
AC
sinB
=
AB
sinC
，
得AC=
AB•sinB
sinC
=
1
3
3
2
=
2
3
9
點評：本題主要考查了兩角和公式的化簡求值，三角函數(shù)的基本性質以及正弦定理的應用．考查了學生對三角函數(shù)基礎知識的綜合運用．
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