Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，且以點(diǎn)A，B為切點(diǎn)的切線互相平行．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)F(x)=g(x)+

1

x

，求函數(shù)F（x）的極值；
（Ⅲ）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x₀，我們把|f（x₀）-g（x₀）|的值稱為兩函數(shù)在x₀處的偏差，求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)，找到函數(shù)F(x)=g(x)+

1

x

的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到極值；
（Ⅲ）整理出偏差函數(shù)，求其最小值大于2即可得證．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

，
函數(shù)y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，a），
函數(shù)y=g（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（a，0），
由題意得f′(0)=g′(a)，即a=

1

a

，
又∵a＞0，∴a=1 （4分）
（Ⅱ）∵F(x)=g(x)+

1

x

，∴F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴函數(shù)F（x）的遞減區(qū)間是（0，1），遞增區(qū)間是（1，+∞），
所以函數(shù)F（x）極小值是F（1）=1，函數(shù)F（x）無極大值（8分）
（Ⅲ）函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的偏差為F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞），
∴F′(x)=ex-

1

x

設(shè)x=t為F′(x)=ex-

1

x

=0的解，即

1

t

=et
則當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
∴F（x）在（0，t）內(nèi)單調(diào)遞減，在（t，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F(x)min=F(t)=et-lnt=et-ln

1

et

=

1

t

+t（10分）
∵F′(1)=e-1＞0，F(xiàn)′(

1

2

)=

e

-2＜0，∴

1

2

＜t＜1，
故F(x)min=

1

t

+t＞2，
即函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2（14分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在解決恒成立問題、最值問題中的應(yīng)用，解題時(shí)要善于構(gòu)造新函數(shù)解決不等式恒成立問題，計(jì)算要認(rèn)真細(xì)致