已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,橢圓上的點到焦點的距離的最小值為,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線交于、兩點,試問:在軸上是否存在一個定點,使為定值?若存在,求出這個定點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)(2)符合條件的點存在,其坐標(biāo)為
(1)設(shè)橢圓的方程為,由已知得 ,,,
橢圓的方程為 .
(2)法一:假設(shè)存在符合條件的點,又設(shè),則:
①當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為:,則由,
得,即,
,
,
所以 ,
對于任意的值,為定值,所以,得,
所以;
②當(dāng)直線的斜率不存在時,直線,由得.
綜上述①②知,符合條件的點存在,起坐標(biāo)為.
法二:假設(shè)存在符合條件的點,又設(shè)則:
,
=.
①當(dāng)直線的斜率不為時,設(shè)直線的方程為,由,得,
,
.
設(shè)則
,,.
②當(dāng)直線的斜率為時,直線,由得:
.
綜上述①②知,符合條件的點存在,其坐標(biāo)為.
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